Perpendicularidad entre dos circunferencias

Dos circunferencias son perpendiculares cuando sus radios son perpendiculares

En el caso de que estas dos circunferencias no se corten, y haya que buscar una tercera circunferencia perpendicular a ambas...

Descubriendo así que todos esos puntos medios, que son los centros de las circunferencias perpendiculares a las otras dos, están alineados, y están en el eje radical de ambas circunferencias:

Y esto es todo de momento...

¿Perpendiculariamos un poco?

(Recuerda que que sean perpendiculares significa que el ángulo es de π/2, cuatro veces este ángulo son 2π radianes, ¡como este blog!

¿Qué es un Eje Radical?

¡Buenos días!

Hoy vamos a dar una descripción teórica sobre el Eje Radical.

¿Qué es un Eje Radical?

Se trata del lugar geométrico de los puntos que tienen la misma potencia con respecto a dos circunferencias. 

[Recuerda que el lugar geómetrico es el conjunto de puntos del plano]

Recordemos brevemente qué era la Potencia de un punto...

Potencia de un punto con respecto a una circunferencia es el producto de las distancias mínima y máxima.

Visto esto, ahora, en lugar de hacerlo respecto a una circunferencia, lo haré respecto a dos circunferencias.

Supondremos primero que las dos circunferencias se cortan en un punto que llamaremos T.

El eje radical estará en la prependicular a la recta que une O1 Y O2 y que pasa por T.

Así, encontraremos el Haz Parabólico, con todo el conjunto de circunferencias que pasan por T y que tendrán igual Potencia.

Aquí tienes una demostración gráfica

Ahora vamos a suponer que las circunferencias se cortan por dos puntos.

Así, en este caso, el Eje Radical será la recta que contiene a los puntos de corte de ambas circunferencias, en este caso A y B.

Aparecerá el Haz Elíptico en todas las circunferencias con centro en la recta que une O1 y O2 y que pasen por A y por B.

Suponiendo, en un último caso, que las dos circunferencias no se cortan...

Tendremos que buscar un Lugar Geométrico cuya diferencia de cuadrados de distancias a dos puntos fijos sea constante.

Para comprobar el Haz Hiperbólico lo veremos el próximo día en clase...

Eje Radical

¡Hola!

Seguimos investigando las entrañas de la Geometría, y esta semana nos adentramos en el mundo del Eje Radical.

Tenéis demostraciones de cómo hallar el Eje Radical con distintos métodos.

Eje Radical por Circunferencia auxiliar

Eje Radical por Tangente Auxiliar

Eje Radical por Lugares Geométricos

Además, te dejamos la herramienta de 'Eje Radical' que hemos creado, por si lo necesitáis, ¡es todo vuestro!
https://ggbm.at/pekwujkb

Problema Fundamental de Tangencias con Construcción Robusta

Buenos días!

Hoy os dejamos el Problema Fundamental de Tangencias de nuevo, pero esta vez se trata de una construcción robusta en Geogebra. 

Prueba a mover los puntos Lejano y Cercano, la construcción se mantiene.

Podrás comprobar cómo, estén donde estén los puntos, el problema puede resolverse.

¡A Jugar!

Problema Fundamental de Tangencias

A continuación, vamos a resolver el siguiente problema de forma gráfica y por pasos, siguiendo el modelo del problema fundamental de tangencias.

El problema consiste en encontrar una circunferencia que sea tangente a una recta (r) y que pase por dos puntos (A, B):

Hay dos formas de resolver el siguiente problema, siguiendo el esquema del teorema del cateto, o por la definición de Potencia, explicaremos detalladamente y por pasos ambas formas.

En esta primera demostración, lo resolveremos por el Teorema del Cateto.

En la segunda demostración, lo resolveremos por la definición de Potencia:

Si tienes cualquier duda, deja un comentario con tu pregunta ;)

El concepto de Potencia

Potencia es la distancia desde un punto a una circunferencia.

Esta potencia tiene en cuenta la distancia mínima y máxima desde ese punto.

Se trata de una generalización de la distancia. 

Al fin y al cabo, con el concepto de potencia encontramos un triángulo rectángulo, y por pitágoras desarrollamos el teorema, aplicado a nuestro tríangulo.

Siendo d la hipotenusa, y R y k los catetos de nuestro particular teorema de pitágoras

Puntos Especiales de un Triángulo

En un triángulo, existen una serie de puntos especiales, a continuación los vamos a enumerar y descubrir.

Ortocentro: Es el punto donde se intersecan las alturas del triángulo. (Recuerda que las alturas se hallan en la línea perpendicular al lado que pasa por el vértice opuesto).

Baricentro: Punto que se encuentra en la intersección de las medianas. Suponiendo éste el centro de gravedad del triángulo.
(Recuerda que las medianas son los segmentos que unen cada vértice con el punto medio del lado opuesto)

Circuncentro: Es el punto de intersección de las mediatrices de los lados. Se trata del centro de la circunferencia circunscrita (Que pasa por los tres puntos del triángulo).

Incentro: Es el punto de intersección de las bisectrices de los ángulos. Se trata del centro de la circunferencia inscrita en el triángulo (Es tangente a los lados del triángulo, y para encontrar esos puntos de tangencia, traza perpendiculares a los lados desde el incentro hallado).

Todos los puntos especiales juntos, en un triángulo, se verían así: